Jak wyznaczyć bezwładność maszyny napędzanej silnikiem elektrycznym z falownikiem?

W tym wpisie przedstawiam sposób szacowania momentu bezwładności elementów wirujących napędzanych trójfazowym silnikiem klatkowym, zasilanym przez falownik. Znajomość momentu bezwładności może być przydatna np. do dobrania nastaw pracy falownika w trybie wektorowym lub obliczenia odpowiedniej mocy rezystora hamowania.

Obliczenie momentu bezwładności z wykorzystaniem silnika elektrycznego i falownika

Założenia i wymagania:

  • Zasilanie silnika elektrycznego przez falownik,
  • Możliwość zarejestrowania lub przynajmniej odczytania przebiegu prędkości obrotowej i momentu obrotowego silnika podczas procesu rozpędzania.
  • Obliczenie nieznanego momentu bezwładności na podstawie czasu rozpędzania i działającego momentu obrotowego.

Przykład z falownikiem SIEMENS MIDIMASTER Vector i silnikiem Celma 30 kW 1472 obr/min.

Falownik skonfigurowano tak, by na wyjścia analogowe wystawiał prędkość obrotową i moment obrotowy. Zarejestrowano przebieg obu wielkości w czasie rozpędzania bębna do zadanej częstotliwości (w tym wypadku 25 Hz), z zadaną rampą (w tym wypadku 100 sekund). Przebieg procesu rozpędzania przedstawia wykres

SIEMENS_MIDIMASTER_rozpedzanie_moment_obroty_1
Wykres momentu i prędkości obrotowej podczas rozpędzania falownikiem SIEMENS MIDIMASTER od 0 do 25 Hz z rampą 100 s

Nominalny moment obrotowy naszego silnika wynosi 195 Nm, jak widać rampa 100 sekundowa stanowi dla tego napędu nie lada wyzwanie i falownik “pogania” silnik momentem 1,5 krotnie większym. Dodatkowo, w czasie rozpędzania obserwujemy na wyświetlaczu komunikat Current limit, (prąd maksymalny ustawiony na 60A). Zerowy moment wskazywany przez falownik na początku rozruchu jest z jakiegoś powodu błędnie wskazywany, dlatego do obliczeń można wykorzystać zaznaczony pionowymi liniami fragment wykresu. Chodzi o to żeby rozpatrywać obszar, w którym silnik przyspiesza, a energia jest dostarczana do układu.

Poszukiwany moment bezwładności związany jest z energią ruchu obrotowego całego zespołu (silnik plus bęben) wzorem

E = E_\mathrm{silnika} + E_\mathrm{bębna} = \frac{J_\mathrm{silnika}\omega^2}{2} + \frac{J_\mathrm{bębna}\Omega^2}{2}

Silnik jest połączony z bębnem przez koła pasowe, a przełożenie wynosi n=2,1 (maksymalna prędkość bębna wynosi 700 obr/min dla prędkości nominalnej silnika). Aby możliwe było wykonanie obliczeń trzeba sprawę nieco uprościć i pominąć energię związaną z bezwładnością silnika z kołem pasowym, której nie znamy (jest ona pomijalnie mała w porównaniu z bezwładnością bębna).

Zmiana energii układu jest równa (pomijając straty na opory ruchu) pracy wykonanej przez silnik w czasie rozpędzania, danej wzorem

\Delta E = W = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} nM(\alpha) \mathrm{d}\alpha

Gdzie n to przełożenie, jako że interesuje nas moment działający na bęben.

Zmiana energii w wybranym obszarze to energia końcowa minus początkowa, wynikająca ze zmiany prędkości obrotowej bębna:

\Delta E = \frac{J\Omega_2^2}{2} – \frac{J\Omega_1^2}{2}

W celu obliczenia wykonanej pracy za pomocą podanej całki, należy najpierw scałkować prędkość kątową (po przeliczeniu w radianach na sekundę) aby otrzymać przebieg drogi kątowej bębna w czasie, przedstawiony na wykresie

SIEMENS_MIDIMASTER_droga_katowa_1
Wykres drogi kątowej bębna podczas rozpędzania

W tym momencie można obliczyć pracę jako pole pod wykresem momentu w funkcji drogi kątowej

SIEMENS_MIDIMASTER_praca_1
Praca - pole pod wykresem momentu obrotowego w funkcji drogi kątowej podczas rozpędzania.

Poszukiwany moment bezwładności obliczamy ze wzoru

J = 2\frac{W}{\Omega_2^2 – \Omega_1^2} = 937 [\mathrm{kgm^2}]

Przykład z falownikiem ACS800 i tym samym silnikiem Celma 30 kW 1472 obr/min

Falownik w wektorowym trybie DTC (Direct Torque Control), maksymalny moment ograniczony na 100 % momentu nominalnego. Rampa rozpędzania jest co prawda ustawiona na 100 sekund, ale z powodu ograniczonego momentu falownik będzie musiał ją wydłużyć. Przebieg wartości wyjść analogowych podczas rozpędzania:

ACS_rozpedzanie_moment_100_procent
Wykres momentu i prędkości obrotowej podczas rozpędzania silnika falownikiem ACS800 z ograniczeniem momentu = 100%

W tym przypadku można dokonać uproszczonego obliczenia bez całkowania, korzystając ze stałego momentu napędowego w zaznaczonym obszarze, różnicy prędkości i czasu rozpędzania

M=195 \mathrm{~Nm}

\omega_1 = 56 \mathrm{~obr/min} \implies \Omega_1 = \frac{\omega_1}{n} = 56/2,1 =27 \mathrm{~obr/min} = 2,8  \mathrm{rad/s}

\omega_2 = 686 \mathrm{~obr/min} \implies \Omega_2 = \frac{\omega_2}{n} = 686/2,1 =327 \mathrm{~obr/min} = 34,2 \mathrm{~rad/s}

\Delta\Omega = \Omega_2 – \Omega_1 = 31,4 \mathrm{~rad/s}

\Delta t = 70 \mathrm{~s}

Moment bezwładności można obliczyć z poniższego wzoru, pamiętając by jako moment napędowy wstawić moment działający :

J = nM\frac{\Delta t}{\Delta\Omega} = 2,1\cdot195\frac{70}{31,4}=913 \mathrm{~kgm^2}

Takiego prostego obliczenia można dokonać nawet bez rejestracji wyjść analogowych, wystarczy zmierzyć czas rozpędzania od jednej prędkości do drugiej. Oczywiście należy upewnić się, aby moment był stały i znany. W falowniku ABB serii ACS jest to proste do zrealizowania, przez ustawienie ograniczenia momentu. Jeżeli rampa rozpędzania będzie za krótka, falownik osiągnie i utrzyma ustawiony Torque limit, jak widać na wykresie.

Dokładny wynik metodą z całkowaniem dla tego falownika jest bardzo podobny i wynosi (wykresy obliczonych całek poniżej):

J = 899 \mathrm{~kgm^2}

 

Wykres drogi kątowej bębna podczas rozpędzania
Praca - pole pod wykresem momentu obrotowego w funkcji drogi kątowej podczas rozpędzania.

Na potwierdzenie poprawności obliczeń dodam jeszcze, że moment bezwładności z dokumentacji stanowiska badawczego, na którym wykonywałem próby wynosi J = 842 \mathrm{~kgm^2} . Według mnie dokładność obliczeń jest bardzo zadowalająca, dlatego postanowiłem podzielić się wynikami na blogu. Zapraszam do komentowania.

Dodaj komentarz

Close Menu