W tym wpisie przedstawiam sposób szacowania momentu bezwładności elementów wirujących napędzanych trójfazowym silnikiem klatkowym, zasilanym przez falownik. Znajomość momentu bezwładności może być przydatna np. do dobrania nastaw pracy falownika w trybie wektorowym lub obliczenia odpowiedniej mocy rezystora hamowania.
Obliczenie momentu bezwładności z wykorzystaniem silnika elektrycznego i falownika
Założenia i wymagania:
- Zasilanie silnika elektrycznego przez falownik,
- Możliwość zarejestrowania lub przynajmniej odczytania przebiegu prędkości obrotowej i momentu obrotowego silnika podczas procesu rozpędzania.
- Obliczenie nieznanego momentu bezwładności na podstawie czasu rozpędzania i działającego momentu obrotowego.
Przykład z falownikiem SIEMENS MIDIMASTER Vector i silnikiem Celma 30 kW 1472 obr/min.
Falownik skonfigurowano tak, by na wyjścia analogowe wystawiał prędkość obrotową i moment obrotowy. Zarejestrowano przebieg obu wielkości w czasie rozpędzania bębna do zadanej częstotliwości (w tym wypadku 25 Hz), z zadaną rampą (w tym wypadku 100 sekund). Przebieg procesu rozpędzania przedstawia wykres
Nominalny moment obrotowy naszego silnika wynosi 195 Nm, jak widać rampa 100 sekundowa stanowi dla tego napędu nie lada wyzwanie i falownik “pogania” silnik momentem 1,5 krotnie większym. Dodatkowo, w czasie rozpędzania obserwujemy na wyświetlaczu komunikat Current limit, (prąd maksymalny ustawiony na 60A). Zerowy moment wskazywany przez falownik na początku rozruchu jest z jakiegoś powodu błędnie wskazywany, dlatego do obliczeń można wykorzystać zaznaczony pionowymi liniami fragment wykresu. Chodzi o to żeby rozpatrywać obszar, w którym silnik przyspiesza, a energia jest dostarczana do układu.
Poszukiwany moment bezwładności związany jest z energią ruchu obrotowego całego zespołu (silnik plus bęben) wzorem
E = E_\mathrm{silnika} + E_\mathrm{bębna} = \frac{J_\mathrm{silnika}\omega^2}{2} + \frac{J_\mathrm{bębna}\Omega^2}{2}
Silnik jest połączony z bębnem przez koła pasowe, a przełożenie wynosi n=2,1 (maksymalna prędkość bębna wynosi 700 obr/min dla prędkości nominalnej silnika). Aby możliwe było wykonanie obliczeń trzeba sprawę nieco uprościć i pominąć energię związaną z bezwładnością silnika z kołem pasowym, której nie znamy (jest ona pomijalnie mała w porównaniu z bezwładnością bębna).
Zmiana energii układu jest równa (pomijając straty na opory ruchu) pracy wykonanej przez silnik w czasie rozpędzania, danej wzorem
\Delta E = W = \int_{\alpha_1}^{\alpha_2} nM(\alpha) \mathrm{d}\alpha
Gdzie n to przełożenie, jako że interesuje nas moment działający na bęben.
Zmiana energii w wybranym obszarze to energia końcowa minus początkowa, wynikająca ze zmiany prędkości obrotowej bębna:
\Delta E = \frac{J\Omega_2^2}{2} – \frac{J\Omega_1^2}{2}
W celu obliczenia wykonanej pracy za pomocą podanej całki, należy najpierw scałkować prędkość kątową (po przeliczeniu w radianach na sekundę) aby otrzymać przebieg drogi kątowej bębna w czasie, przedstawiony na wykresie
W tym momencie można obliczyć pracę jako pole pod wykresem momentu w funkcji drogi kątowej
Poszukiwany moment bezwładności obliczamy ze wzoru
J = 2\frac{W}{\Omega_2^2 – \Omega_1^2} = 937 [\mathrm{kgm^2}]
Przykład z falownikiem ACS800 i tym samym silnikiem Celma 30 kW 1472 obr/min
Falownik w wektorowym trybie DTC (Direct Torque Control), maksymalny moment ograniczony na 100 % momentu nominalnego. Rampa rozpędzania jest co prawda ustawiona na 100 sekund, ale z powodu ograniczonego momentu falownik będzie musiał ją wydłużyć. Przebieg wartości wyjść analogowych podczas rozpędzania:
W tym przypadku można dokonać uproszczonego obliczenia bez całkowania, korzystając ze stałego momentu napędowego w zaznaczonym obszarze, różnicy prędkości i czasu rozpędzania
M=195 \mathrm{~Nm}
\omega_1 = 56 \mathrm{~obr/min} \implies \Omega_1 = \frac{\omega_1}{n} = 56/2,1 =27 \mathrm{~obr/min} = 2,8 \mathrm{rad/s}
\omega_2 = 686 \mathrm{~obr/min} \implies \Omega_2 = \frac{\omega_2}{n} = 686/2,1 =327 \mathrm{~obr/min} = 34,2 \mathrm{~rad/s}
\Delta\Omega = \Omega_2 – \Omega_1 = 31,4 \mathrm{~rad/s}
\Delta t = 70 \mathrm{~s}
Moment bezwładności można obliczyć z poniższego wzoru, pamiętając by jako moment napędowy wstawić moment działający :
J = nM\frac{\Delta t}{\Delta\Omega} = 2,1\cdot195\frac{70}{31,4}=913 \mathrm{~kgm^2}
Takiego prostego obliczenia można dokonać nawet bez rejestracji wyjść analogowych, wystarczy zmierzyć czas rozpędzania od jednej prędkości do drugiej. Oczywiście należy upewnić się, aby moment był stały i znany. W falowniku ABB serii ACS jest to proste do zrealizowania, przez ustawienie ograniczenia momentu. Jeżeli rampa rozpędzania będzie za krótka, falownik osiągnie i utrzyma ustawiony Torque limit, jak widać na wykresie.
Dokładny wynik metodą z całkowaniem dla tego falownika jest bardzo podobny i wynosi (wykresy obliczonych całek poniżej):
J = 899 \mathrm{~kgm^2}
Na potwierdzenie poprawności obliczeń dodam jeszcze, że moment bezwładności z dokumentacji stanowiska badawczego, na którym wykonywałem próby wynosi J = 842 \mathrm{~kgm^2} . Według mnie dokładność obliczeń jest bardzo zadowalająca, dlatego postanowiłem podzielić się wynikami na blogu. Zapraszam do komentowania.
